Hỏi Đáp Vật Lý!

Hướng dẫn giải:

Gọi x, y là các khoảng cách được kí hiệu như trên hình vẽ.

+ Tổng thế năng của hệ là:  \( U={{U}_{AB}}+{{U}_{BC}}+{{U}_{AC}} \).

Với U_AB là thế năng tương tác giữa A và B, phụ thuộc vào vị trí tương ứng giữa A và B… Vì khoảng cách giữa A và B và B với C là không thay đổi nên U_AB = U_BC = không đổi.

Ta lại có:  \( {{U}_{AC}}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}.\frac{{{q}^{2}}}{x}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{{{q}^{2}}}{2\sqrt{{{d}^{2}}-{{y}^{2}}}} \).

Do khoảng cách y rất nhỏ, nên ta có thể áp dụng công thức xấp xỉ: \({{(1+z)}^{a}}\approx 1+a.z\), với \(z\ll 1\).

Ta được:  \( {{U}_{AC}}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{{{q}^{2}}}{2d\sqrt{1-{{\left( \frac{y}{d} \right)}^{2}}}}\approx \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{{{q}^{2}}}{2d}\left( 1+\frac{{{y}^{2}}}{2{{d}^{2}}} \right) \).

Độ biến thiên động năng của hệ là:

 \( \Delta U=U_{AC}^{2}-U_{AC}^{1}\approx \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{{{q}^{2}}}{2d}\left( \frac{{{y}^{2}}}{2{{d}^{2}}}-0 \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{{{q}^{2}}}{2{{d}^{3}}}.{{y}^{2}} \).

Vì vị trí khối tâm của hệ không thay đổi trong quá trình dao động nên đồng xu B dịch chuyển  \( {{y}_{B}}=\frac{2y}{3} \), còn các đồng xu A và C dịch chuyển được đoạn  \( \frac{y}{3} \) theo chiều ngược lại. Độ biến thiên thế năng của hệ là hàm của y_B, có biểu thức:

 \( \Delta U\approx \frac{1}{2}\left( \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{9{{q}^{2}}}{8{{d}^{3}}} \right)\cdot y_{B}^{2} \).

+ Động lượng của hệ được bảo toàn nên khi đồng xu B dịch chuyển theo phương y với tốc độ v_B, thì thành phần vận tốc theo phương y của các đồng xu A và C là  \( \frac{{{v}_{B}}}{2} \) theo chiều ngược lại. Vì độ dịch chuyển các đồng xu là nhỏ nên thành phần vận tốc theo phương x của các đồng xu A và C là không đáng kể, nên tổng động năng của hệ là:

 \( K\approx \frac{1}{2}mv_{B}^{2}+2.\frac{1}{2}m{{\left( \frac{{{v}_{B}}}{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{2}\left( \frac{3m}{2} \right)v_{B}^{2} \)

+ Ta có thể coi dao động của hệ tương đương với dao động của con lắc có khối lượng hiệu dụng  \( {{m}_{eff}}=\frac{3m}{2} \) và có hệ số đàn hồi:  \( k\approx \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{9{{q}^{2}}}{8{{d}^{3}}} \).

Chu kỳ dao động của hệ là:  \( T=2\pi \sqrt{\frac{{{m}_{eff}}}{k}}=2\pi \sqrt{\frac{\frac{3m}{2}}{\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}.\frac{9{{q}^{2}}}{8{{d}^{3}}}}}=\frac{4\pi }{q}\sqrt{\frac{\frac{m{{d}^{3}}}{3}}{\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}} \).

Điện tích của mỗi đồng xu là:  \( q\approx \frac{4\pi }{T}\sqrt{\frac{\frac{m{{d}^{3}}}{3}}{\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}} \).