Mạng tinh thể muối ăn đơn giản là một hình hộp có các ion trái dấu gồm ion dương Na ( \( {{A}_{Na}}=23 \)) và ion âm Cl ( \( {{A}_{Cl}}=35 \)) được đặt tại các nút mạng của khối hộp. Bán kính các ion này có bán kính giống nhau và đặt sát nhau. Khi khoảng cách giữa các ion lớn hơn hoặc bằng đường kính ion thì sự tương tác giữa chúng đơn thuần là tương tác tĩnh điện.
a) Biết khối lượng riêng của muối ăn là \( \rho =2,{{16.10}^{3}}\,\,kg/{{m}^{3}} \). Hãy xác định đường kính trung bình của các ion.
b) Tính năng lượng tương tác của một ion tinh thể với tất cả các ion còn lại. Khi giải bài toán này có thể sử dụng công thức: \( C=\sum\limits_{k=-\infty }^{+\infty }{{}}\sum\limits_{\ell =-\infty }^{+\infty }{{}}\sum\limits_{m=-\infty }^{+\infty }{\frac{{{(-1)}^{k+\ell +m}}}{{{({{k}^{2}}+{{\ell }^{2}}+{{m}^{2}})}^{\frac{1}{2}}}}\approx -1,75} \), trong đó \( ({{k}^{2}}+{{\ell }^{2}}+{{m}^{2}})\ne 0 \).
Hướng dẫn giải:
(a) Khảo sát một tinh thể muối ăn có thể tích V, khối lượng của nó bằng: \( m=\rho V \).
Nhưng khối lượng của tinh thể cũng có thể tính theo công thức: \( m=N{{m}_{Na}}+N{{m}_{Cl}}=\frac{N}{{{N}_{A}}}({{\mu }_{Na}}+{{\mu }_{Cl}}) \).
Trong đó N là số nguyên tử mỗi loại trong tinh thể; khối lượng mol của Na: \( {{\mu }_{Na}}={{23.10}^{-3}}\,\,kg/mol \) và của Clo: \( {{\mu }_{Cl}}=35,{{5.10}^{-3}}\,\,kg/mol \).
Khoảng cách giữa các ion bằng đường kính của chúng. Bán kính ion là r. Mỗi nguyên tử chiếm một thể tích vào cỡ: \( \nu ={{d}^{3}}={{(2r)}^{3}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3) \)
Vậy trong toàn bộ tinh thể có thể tích V, số nguyên tử mỗi loại là N: \( N=\frac{1}{2}\frac{V}{\nu }=\frac{1}{2{{d}^{3}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4) \)
Từ (1), (2) và (4) xác định được: \( \rho V=\frac{1}{2{{d}^{3}}}V\cdot \frac{{{\mu }_{Na}}+{{\mu }_{Cl}}}{{{N}_{A}}}\Rightarrow \rho =\frac{1}{2{{d}^{3}}}\cdot \frac{{{\mu }_{Na}}+{{\mu }_{Cl}}}{{{N}_{A}}} \)
\( \Rightarrow d=\sqrt[3]{\frac{{{\mu }_{Na}}+{{\mu }_{Cl}}}{2\rho {{N}_{A}}}}\,\,\,\,\,\,(5) \)
Thay số vào ta được: \( d\approx 2,{{82.10}^{-10}}\,\,m \).
(b) Để tính năng lượng tương tác của mỗi ion với tất cả các ion còn lại, ta chọn hệ trục tọa độ, có gốc trùng với tâm của một ion nào đó (chẳng hạn Na), các trục hướng theo các cạnh của khối tinh thể.
Tọa độ của các ion là: \( {{x}_{k}}=kd;\,\,{{y}_{\ell }}=\ell d;\,\,{{z}_{m}}=md \).
Trong đó \( k,\ell ,m \) là những số nguyên chỉ số thứ tự của các ion theo các trục Ox, Oy và Oz. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến ion \( (k,\ell ,m) \) bằng
\( {{R}_{k\ell m}}=d\sqrt{{{k}^{2}}+{{\ell }^{2}}+{{m}^{2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(6) \)
Điện tích của ion Na tại gốc tọa độ là \( +e \), còn các ion cạnh nó (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (-1,0,0), (0,-1,0), (0,0,-1) đề có điện tích -e, ….
Như vậy các ion có tổng tọa độ là số chẳn là những ion Na mang điện tích +e, những ion có tổng tọa độ lẻ là những ion Cl màn điện tích -e.
Một cách tổng quát, ion \( (k,\ell ,m) \) sẽ có điện tích \( {{q}_{k\ell m}} \)
\( {{q}_{k\ell m}}={{(-1)}^{k+\ell +m}}e\,\,\,\,\,\,(7) \)
Năng lượng tương tác tĩnh điện của hai điện tích \( {{q}_{1}},{{q}_{2}} \) ở khoảng cách R:
\( {{W}_{0}}=\frac{{{q}_{1}}{{q}_{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}R}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(8) \)
Khi đó mỗi điện tích sẽ chiếm một nửa năng lượng này:
\( W=\frac{{{W}_{0}}}{2}=\frac{1}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{{{q}_{1}}{{q}_{2}}}{R}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(9) \)
Để tìm năng lượng tương tác tĩnh điện của một ion (0,0,0), cần tính tổng năng lượng tương tác giữa ion này với các ion còn lại:
\( W_{k\ell m}^{000}=\frac{1}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{{{q}_{k\ell m}}{{q}_{000}}}{{{R}_{k\ell m}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(10) \)
Tổng năng lượng này được lấy với tất cả các ion còn lại (trừ ion tại (0,0,0)), tức là:
\({{W}_{all}}=\sum{W_{k\ell m}^{000}}=\frac{1}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}}\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{\sum\limits_{\ell =-\infty }^{\infty }{\sum\limits_{m=-\infty }^{\infty }{\frac{{{q}_{k\ell m}}{{q}_{000}}}{{{R}_{k\ell m}}}}}}\)
\({{W}_{all}}=\sum{W_{k\ell m}^{000}}=\frac{1}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}}\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{\sum\limits_{\ell =-\infty }^{\infty }{\sum\limits_{m=-\infty }^{\infty }{\frac{{{(-1)}^{k+\ell +m}}e.e}{d\sqrt{{{k}^{2}}+{{\ell }^{2}}+{{m}^{2}}}}}}}\)
\({{W}_{all}}=\sum{W_{k\ell m}^{000}}=\frac{{{e}^{2}}}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}d}\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{\sum\limits_{\ell =-\infty }^{\infty }{\sum\limits_{m=-\infty }^{\infty }{\frac{{{(-1)}^{k+\ell +m}}}{\sqrt{{{k}^{2}}+{{\ell }^{2}}+{{m}^{2}}}}}}}\).
Có thể viết lại \( {{W}_{all}}=\frac{{{e}^{2}}}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}d}\cdot C \).
Trong đó giả thiết cho \( C=-1,75 \) là giá trị tổng.
Nên năng lượng tương tác của ion (0,0,0) với tất cả các ion còn lại bằng:
\( {{W}_{all}}=\frac{{{e}^{2}}}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}d}(-1,75)\approx -7,{{14.10}^{-19}}\,\,J=-4,46\,eV \).
Hỏi Đáp Vật Lý! được xây dựng trên WordPress