Một bán cầu có bán kính R trượt đều theo đường thẳng nằm ngang. Một quả cầu nhỏ cách mặt phẳng ngang một đoạn bằng R. Ngay khi đỉnh bán cầu đi ngang qua quả cầu nhỏ thì nó được buông rơi tự do.

 

Tìm vận tốc nhỏ nhất của bán cầu để nó không cản trở sự rơi tự do của quả cầu nhỏ (R = 40 cm).

Hướng dẫn giải:

Chọn hệ quy chiếu gắn với bán cầu: Gốc tọa độ O là đỉnh của bán cầu, trục Ox nằm ngang, trục Oy thẳng đứng (hướng xuống). trong hệ quy chiếu gắn với bán cầu thì:

+ Vận tốc ban đầu của quả cầu nhỏ là:  \( {{v}_{10}}={{v}_{0}} \).

+ Các phương trình chuyển động là:  \( \left\{ \begin{align}  & x={{v}_{0}}t \\  & y=\frac{1}{2}g{{t}^{2}} \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow y=\frac{g}{2v_{0}^{2}}{{x}^{2}} \)

 \( \Rightarrow  \) Quỹ đạo của quả cầu nhỏ trong hệ quy chiếu gắn với bán cầu là một parabol. Để quả cầu nhỏ rơi tự do thì parabol này phải không cắt mặt bán cầu.

–  Xét một điểm M trên parabol trên, ta phải có:  \( {{y}_{M}}\le OH \)

Với  \( OH=R-\sqrt{{{R}^{2}}-x_{M}^{2}} \) \( \Rightarrow \frac{g}{2v_{0}^{2}}x_{M}^{2}\le R-\sqrt{{{R}^{2}}-x_{M}^{2}} \)

 \( \Rightarrow \sqrt{{{R}^{2}}-x_{M}^{2}}\le R-\frac{g}{2v_{0}^{2}}x_{M}^{2} \) \( \Rightarrow {{R}^{2}}-x_{M}^{2}\le {{R}^{2}}-2R.\frac{g}{2v_{0}^{2}}x_{M}^{2}+\frac{{{g}^{2}}}{2v_{0}^{4}}x_{M}^{4} \)

 \( \Rightarrow \frac{{{g}^{2}}}{4v_{0}^{4}}x_{M}^{2}\ge \frac{Rg}{v_{0}^{2}-1} \)

– Bất đẳng thức trên phải thỏa mãn với mọi x khi:  \( \frac{Rg}{v_{0}^{2}}-1\le 0\Rightarrow {{v}_{0}}\ge \sqrt{Rg}=\sqrt{0,4.10}=2\text{ }m/s \)

Vậy, vận tốc nhỏ nhất của bán cầu để nó không cản trở sự rơi tự do của quả cầu nhỏ là  \( {{v}_{0\min }}=2\text{ }m/s \).

 

Các bài toán liên quan

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Các bài toán cùng chủ đề!


error: Content is protected !!
Menu