Hỏi Đáp Vật Lý!

Hướng dẫn giải:

Chọn hệ quy chiếu gắn với bán cầu: Gốc tọa độ O là đỉnh của bán cầu, trục Ox nằm ngang, trục Oy thẳng đứng (hướng xuống). trong hệ quy chiếu gắn với bán cầu thì:

+ Vận tốc ban đầu của quả cầu nhỏ là:  \( {{v}_{10}}={{v}_{0}} \).

+ Các phương trình chuyển động là:  \( \left\{ \begin{align}  & x={{v}_{0}}t \\  & y=\frac{1}{2}g{{t}^{2}} \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow y=\frac{g}{2v_{0}^{2}}{{x}^{2}} \)

 \( \Rightarrow  \) Quỹ đạo của quả cầu nhỏ trong hệ quy chiếu gắn với bán cầu là một parabol. Để quả cầu nhỏ rơi tự do thì parabol này phải không cắt mặt bán cầu.

–  Xét một điểm M trên parabol trên, ta phải có:  \( {{y}_{M}}\le OH \)

Với  \( OH=R-\sqrt{{{R}^{2}}-x_{M}^{2}} \) \( \Rightarrow \frac{g}{2v_{0}^{2}}x_{M}^{2}\le R-\sqrt{{{R}^{2}}-x_{M}^{2}} \)

 \( \Rightarrow \sqrt{{{R}^{2}}-x_{M}^{2}}\le R-\frac{g}{2v_{0}^{2}}x_{M}^{2} \) \( \Rightarrow {{R}^{2}}-x_{M}^{2}\le {{R}^{2}}-2R.\frac{g}{2v_{0}^{2}}x_{M}^{2}+\frac{{{g}^{2}}}{2v_{0}^{4}}x_{M}^{4} \)

 \( \Rightarrow \frac{{{g}^{2}}}{4v_{0}^{4}}x_{M}^{2}\ge \frac{Rg}{v_{0}^{2}-1} \)

– Bất đẳng thức trên phải thỏa mãn với mọi x khi:  \( \frac{Rg}{v_{0}^{2}}-1\le 0\Rightarrow {{v}_{0}}\ge \sqrt{Rg}=\sqrt{0,4.10}=2\text{ }m/s \)

Vậy, vận tốc nhỏ nhất của bán cầu để nó không cản trở sự rơi tự do của quả cầu nhỏ là  \( {{v}_{0\min }}=2\text{ }m/s \).