Nguyên tử của một nguyên tố bao gồm hạt nhân mang điện Ze đặt tại tâm (Z là nguyên tử số nguyên tố, e là điện tích nguyên tố) và lớp vỏ do các electron chuyển động xung quanh hạt nhân tạo thành. Coi phân bố điện tích của lớp vỏ chỉ phụ thuộc khoảng cách r tới tâm hạt nhân với mật độ điện khối như sau:

+  \( \rho (r)=\frac{A}{{{r}^{n}}} \) nếu  \( r\ge a \).

+  \( \rho (r)=0 \) nếu  \( r<a \).

Trong đó n, A và a là các hằng số.

(a) Chỉ ra rằng n phải lớn hơn một giá trị xác định. Tìm giá trị đó.

(b) Nguyên tử đang trung hòa về điện, hãy tìm hằng số A.

(c) Tìm điện trường và điện thế tại một điểm bất kì trong không gian do nguyên tử gây ra.

Hướng dẫn giải:

(a) Khi bán kính lớp vỏ là r điện tích của nó q(r) là:

 \( q(r)=\int\limits_{0}^{r}{p(r)dV}=\int\limits_{a}^{r}{\frac{A}{{{r}^{n}}}.4\pi {{r}^{2}}dr}=4\pi A\int\limits_{a}^{r}{{{r}^{2-n}}dr} \).

Khi n = 3, ta có:  \( q(r)=4\pi A\ln \frac{r}{a} \).

Khi  \( n\ne 3 \) ta được:  \( q(r)=\frac{4\pi A}{3-n}\left( {{r}^{3-n}}-{{a}^{3-n}} \right) \).

Ta thất khi  \( n\le 3 \) điện tích tổng cộng của lớp vỏ

 \( Q=\underset{r\to \infty }{\mathop{\lim }}\,q(r)=\infty \) .

Như vậy để mô hình có ý nghĩa vật lý  \( n>3 \).

(b) Khi đó điện tích của lớp vỏ là  \( Q=\frac{4\pi A}{n-3}{{a}^{3-n}} \).

Do nguyên tử trung hòa về điện nên  \( Q=-Ze \).

Ta được:  \( A=\frac{3-n}{4\pi }.\frac{Ze}{{{a}^{3-n}}} \).

Ta thấy  \( A<0 \).

(c) Chọn mặt Gauss là mặt cầu tâm O, bán kính r.

Do trục đối xứng nên điện trường do nguyên tử gây ra có phương xuyên tâm và có độ lớn như nhai trên mặt cầu.

Áp dụng định lí Ostrogradski-Gauss ta được:  \( 4\pi {{r}^{2}}E=\frac{{{Q}_{\operatorname{int}}}}{{{\varepsilon }_{0}}} \), trong đó  \( {{Q}_{int}} \) là điện tích tổng cộng bên trong mặt cầu.

+ Khi r < a:

 \( {{Q}_{int}}=Ze \), ta được  \( E=4\pi {{\varepsilon }_{0}}.\frac{Ze}{{{r}^{2}}} \).

Như vậy  \( \overrightarrow{E}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{2}}}.\frac{Ze}{{{r}^{3}}}\vec{r} \).

Áp dụng mối liên hệ giữa cường độ điện trường và điện thế.

Tại một điểm trên mặt cầu:  \( V(r)=-\int{Edr}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}.\frac{Ze}{r}+C \), với C là hằng số.

+ Khi  \( r\ge a \):

 \( {{Q}_{\operatorname{int}}}=Ze+q(r) \) với  \( q(r)=Ze\left[ {{\left( \frac{a}{r} \right)}^{n-3}}-1 \right] \).

Ta được:  \( E=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}.\frac{Ze}{r}{{\left( \frac{a}{r} \right)}^{n-3}} \).

Như vậy:  \( \overrightarrow{E}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}.\frac{Ze}{{{r}^{2}}}{{\left( \frac{a}{r} \right)}^{n-3}}\vec{r} \).

Tương tự ở trên ta có: \(V(r)=-\int{Edr}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{Ze}{(n-2)r}{{\left( \frac{a}{r} \right)}^{n-3}}+C’\).

Do \({{V}_{r\to \infty }}=0\) nên \(C’=0\).

Do tính chất liên tục của điện thế tại  \( r=a \).

 \( \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{Ze}{a}+C=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{Ze}{(n-2)a}\Leftrightarrow C=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{Ze}{a}.\frac{3-n}{n-2} \).

Tóm lại:

 \( \overrightarrow{E}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{Ze}{{{r}^{3}}}\vec{r} \) khi r < a.

 \( \overrightarrow{E}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}.\frac{Ze}{{{r}^{2}}}{{\left( \frac{a}{r} \right)}^{n-3}}\vec{r} \) khi  \( r\ge a \).

\(V(r)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{Ze}{a}\left( \frac{a}{r}+\frac{3-n}{n-2} \right)\) khi r < a.

 \( V(r)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{Ze}{a}{{\left( \frac{a}{r} \right)}^{n-2}} \) khi  \( r\ge a \).

Nhận Dạy Kèm môn Vật lý Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.


error: Content is protected !!
Menu