Trong một điện trường tạo bởi một điện tích điểm \( +{{q}_{1}} \) và một điện tích điểm \( -{{q}_{1}} \), có một đường sức xuất hiện từ \( +{{q}_{1}} \) hợp với đoạn thẳng nối hai điện tích một góc \( \alpha \).
(a) Hãy tính góc \( \beta \) mà đường sức đó hợp với đoạn thẳng trên tại \( -{{q}_{1}} \).
(b) Thảo luận kết quả thu được câu a) nếu \( \left| {{q}_{1}} \right|\gg \left| {{q}_{2}} \right| \). Cho biết công thức tính diện tích chỏm cầu bán kính r, góc mở \( 2\alpha \) là \( S=2\pi {{r}^{2}}(1-\cos \alpha ) \).
Hướng dẫn giải:
Lời giải:
(a)
Ở những điểm rất gần mỗi điện tích, thì sự đóng góp của điện tích kia vào điện trường tổng hợp là rất nhỏ, có thể bỏ qua. Vì vậy, có thể coi những đường sức đi ra (hoặc đi tới) mỗi điện tích điểm được phân bố đều đặt trong khoảng không gian rất gần điện tích đó.
Gọi số đường sức tổng cộng đi ra khỏi q1 và N1, số đường sức đi ra khỏi q1 trong phạm vi hình nón với góc ở đỉnh \( 2\alpha \) là \( {{{N}’}_{1}} \) theo lập luận thì tỉ số giữa \( {{{N}’}_{1}} \) và N1 phải bằng tỉ số giữa điện tích chỏm cầu và điện tích mặt cầu: \( \frac{{{{{N}’}}_{1}}}{{{N}_{1}}}=\frac{2\pi .R.R(1-\cos \alpha )}{4\pi {{R}^{2}}}=\frac{1-\cos \alpha }{2}\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \)
Tương tự, tỉ số giữa đường sức \( {{{N}’}_{1}} \) đi tới điện tích \( -{{q}_{2}} \) trong phạm vi hình nón có góc ở đỉnh \( 2\beta \) với tổng số đường \( {{{N}’}_{2}} \) đi tới điện tích \( -{{q}_{2}} \) trong phạm vi hình nón có góc đỉnh \( 2\beta \) với tổng số đường N2 đi tới \( -{{q}_{2}} \) là:
\( \frac{{{{{N}’}}_{2}}}{{{N}_{2}}}=\frac{1-\cos \beta }{2}\,\,\,\,\,\,(2) \)
Mặt khác, vì các đường sức không giao nhau nên số đường sức đi ra khỏi q1 trong hình nón \( 2\alpha \) phải bằng số đường sức đi tới \( -{{q}_{2}} \) trong hình nón \( 2\beta \), tức là: \( {{{N}’}_{1}}={{{N}’}_{2}}\,\,\,\,\,\,(3) \)
Từ (1), (2), (3), ta có: \( \frac{{{{{N}’}}_{2}}}{{{{{N}’}}_{1}}}=\frac{1-\cos \alpha }{1-\cos \beta }=\frac{2{{\sin }^{2}}\frac{\alpha }{2}}{2{{\sin }^{2}}\frac{\beta }{2}}={{\left( \frac{2.\frac{\alpha }{2}}{2.\frac{\beta }{2}} \right)}^{2}} \).
Mặt khác, ta có: \( \frac{{{N}_{2}}}{{{N}_{1}}}=\frac{{{q}_{2}}}{{{q}_{1}}} ({{q}_{1}},{{q}_{2}} \) là trị tuyệt đối của các điện tích)
Vậy \( \frac{{{q}_{2}}}{{{q}_{1}}}={{\left( \frac{2.\frac{\alpha }{2}}{2.\frac{\beta }{2}} \right)}^{2}} \) từ đó \( \sin \frac{\beta }{2}=\sqrt{\frac{{{q}_{1}}}{{{q}_{2}}}}\sin \frac{\alpha }{2}\,\,\,\,\,\,\,\,(4) \).
Nghiệm này chỉ có ý nghĩa nếu \( \sqrt{\frac{{{q}_{1}}}{{{q}_{2}}}}\sin \frac{\alpha }{2}\le 1 \).
Nếu \( \sqrt{\frac{{{q}_{1}}}{{{q}_{2}}}}\sin \frac{\alpha }{2}>1 \) thì đường sức đi khỏi q1 sẽ đi ra xa vô cùng và không đi tới \( -{{q}_{2}} \)
(b) Nếu \( \left| {{q}_{1}} \right|\gg \left| {{q}_{2}} \right| \) thì phương trình (4) vô nghiệm, khi đó đường sức xuất phát từ q1 dưới góc \( \alpha \) không đến được q2. Tức là điện tích q2 không ảnh hưởng đến điện trường của điện tích q1, lúc đó có thể xem q2 như là điện tích thử.
Hỏi Đáp Vật Lý! được xây dựng trên WordPress