Một người đứng tại A trên một bờ hồ. Người này muốn tới B trên mặt hồ. Người này muốn tới B trên mặt hồ nhanh nhất.

Cho các khoảng cách như trên hình vẽ. Biết rằng người này có thể chạy thẳng dọc theo bờ hồ với vận tốc  \( {{v}_{1}} \) và bơi thẳng với vận tốc  \( {{v}_{2}} \). Hãy xác định cách mà người này phải theo:

– hoặc bơi thẳng từ A đến B.

– hoặc chạy dọc theo bờ hồ một đoạn rồi sau đó bơi thẳng tới B.

Hướng dẫn giải:

Vì  \( {{v}_{1}}<{{v}_{2}} \) nên thời gian bơi đoạn AB không thể là thời gian nhỏ nhất, do đó ta loại trường hợp này. Giả sử người đó đi theo đường gấp khúc ADB (như hình vẽ).

+ Thời gian đi theo đoạn ADB là:

\(t=\frac{s-x}{{{v}_{2}}}+\frac{\sqrt{{{d}^{2}}+{{x}^{2}}}}{{{v}_{1}}}=\frac{{{v}_{1}}s-{{v}_{1}}x+{{v}_{2}}\sqrt{{{d}^{2}}+{{x}^{2}}}}{{{v}_{1}}{{v}_{2}}}\)

+ Vì  \( {{v}_{1}},{{v}_{2}} \) và s có giá trị xác định nên thời gian  \( t={{t}_{\min }} \) khi:

 \( y={{y}_{\min }}={{\left( -{{v}_{1}}x+{{v}_{2}}\sqrt{{{d}^{2}}+{{x}^{2}}} \right)}_{\min }} \)

 \( \Rightarrow y+{{v}_{1}}x={{v}_{2}}\sqrt{{{d}^{2}}+{{x}^{2}}} \)

 \( \Rightarrow {{y}^{2}}+2y{{v}_{1}}x+v_{1}^{2}{{x}^{2}}=v_{2}^{2}\left( {{d}^{2}}+{{x}^{2}} \right) \)

\(\Rightarrow {{x}^{2}}-\frac{2y{{v}_{1}}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}x+\frac{v_{2}^{2}{{d}^{2}}-{{y}^{2}}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}=0\)

+ Phương trình này có:  \( {\Delta }’={{\left( \frac{y{{v}_{1}}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}} \right)}^{2}}-\left( \frac{v_{2}^{2}{{d}^{2}}-{{y}^{2}}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}} \right)=\frac{{{y}^{2}}v_{1}^{2}-\left( v_{2}^{2}-v_{1}^{2} \right)\left( v_{2}^{2}{{d}^{2}}-{{y}^{2}} \right)}{{{\left( v_{2}^{2}-v_{1}^{2} \right)}^{2}}} \)

 \( \Rightarrow {\Delta }’=\frac{{{y}^{2}}v_{1}^{2}-v_{2}^{4}{{d}^{2}}+v_{2}^{2}{{y}^{2}}+v_{1}^{2}v_{2}^{2}{{d}^{2}}-v_{1}^{2}{{y}^{2}}}{{{\left( v_{2}^{2}-v_{1}^{2} \right)}^{2}}}=\frac{v_{2}^{2}\left[ {{y}^{2}}+\left( v_{2}^{2}-v_{1}^{2} \right){{d}^{2}} \right]}{{{\left( v_{2}^{2}-v_{1}^{2} \right)}^{2}}} \)

+ Để bài toán có nghĩa thì  \( {\Delta }’\ge 0\Rightarrow {{y}^{2}}+\left( v_{2}^{2}-v_{1}^{2} \right){{d}^{2}}\ge 0\Rightarrow {{y}^{2}}\ge \left( v_{2}^{2}-v_{1}^{2} \right){{d}^{2}} \)

 \( \Rightarrow y={{y}_{\min }}=d\sqrt{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}} \) khi  \( {\Delta }’=0 \) và  \( x=\frac{y{{v}_{1}}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}=\frac{d{{v}_{1}}\sqrt{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}=\frac{d{{v}_{1}}}{\sqrt{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}} \)

+ Nếu  \( s\le x=\frac{d{{v}_{1}}}{\sqrt{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}} \) thì cần bơi thẳng từ A đến B.

+ Nếu  \( s\ge x=\frac{d{{v}_{1}}}{\sqrt{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}} \) thì cần phải chạy trên bờ hồ một đoạn: \(AD=s-x=s-\frac{d{{v}_{1}}}{\sqrt{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}}\) rồi bơi theo đường DB theo hướng hợp với phương BC một góc  \( \alpha \)  thỏa  \( \sin \alpha =\frac{{{v}_{1}}}{{{v}_{2}}} \).

Các bài toán liên quan

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Các bài toán cùng chủ đề!


error: Content is protected !!
Menu